La surface dans laquelle le chien Bobby peut évoluer à chaque instant est visualisée sur le schéma par l’aire colorée. Elle est le double de l’aire hachurée par raison de symétrie par rapport à (CD).

L’aire hachurée A₁ est la différence entre l’aire du secteur circulaire (CBD) et celle du triangle CBD.

Appelons  A₂ l’aire du secteur circulaire (CBD).

Les triangles  CAB  et  ADB sont des triangles équilatéraux de côté 1 m (rayon de chaque cercle : les points A et B sont les centres respectifs et correspondent aux positions de Monsieur et Madame Têtu). Donc les angles CBA  et  ABD sont des angles de 60° et par suite l’angle CBD mesure 120°.

L’aire  A₂ est donc égale à 1/3 de l’aire du disque de centre B et de rayon 1m.

Donc  A₂ = (1/3)* (π *1²)

A₂ = (1/3)*π

Appelons A₃ l’aire du triangle CBD.

BC=BD=1m

L’angle CBD mesure 120°.

On peut calculer l’aire A₃ de diverses façons (au niveau collège on peut utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle pour calculer les longueurs de côtés).  J’utilise ici la formule : A₃ = (1/2)*BC*BD*sin(CBD)

Donc  A₃ = (1/2)*1*1*sin(120°)

A₃ = (1/2)(√3)/2=(√3)/4

Donc,en m², l’aire hachurée A₁ est :

A₁ = A₂- A₃ = (1/3)π - (√3)/4

La surface disponible,en m², pour  le chien à chaque instant est :

2*A₁ = (2/3)π - (√3)/2  # 1,228 m²

Appelons A le point d'entrée sur la piste.Le cavalier part à droite à la vitesse v (il fait un tour de piste en 40 sec) et l'écuyère part à gauche à la vitesse v' (elle fait un tour de piste en 60 sec).

Appelons R1 le point de la première rencontre et désignons par l la longueur de la piste en mètres.

Appelons x la distance parcourue par le cavalier de A à R1. L'écuyère a parcouru dans le même temps ,dans l'autre sens la distance de A à R1, c'est à dire (l-x).

Soit t le temps écoulé entre le départ et la première rencontre.

 

Le cavalier faisant un tour de piste en 40 secondes, sa vitesse est: v = (l/40), en m/s

L'écuyère faisant un tour de piste en 60 secondes, sa vitesse est: v' = (l/60), en m/s.

 

Avec les notations définies précédemment, on a les relations:

 1)   x = vt

 2) l-x = v't

c'est à dire:

  1)  x = (l/40)t

  2)  l-x = (l/60)t

d'où:

  1) 40x = lt

  2) 60(l-x) =lt

En égalant les deux expressions de lt, on obtient:

   3) 40x = 60(l-x)

d'où: 40x = 60l - 60x

         100x = 60l

           10x = 6l

              x = (6/10)l

 donc:     x = (3/5)l

et par suite: l-x = l-(3/5)l = (2/5)l

Lors de la première rencontre le cavalier a parcouru 3/5 du tour de piste et l'écuyère en a parcouru 2/5.

Ils se trouvent alors au point R1.

 

Le même raisonnement que précédemment pourrait se faire à partir du point de départ R1 et ainsi l'écuyère et le cavalier se rencontreront à nouveau au point R2 lorsque le cavalier aura fait à nouveau 3/5 du tour de piste (donc 6/5 depuis l'entrée en piste au point A, c'est à dire un tour et un cinquième) alors que l'écuyère aura fait à nouveau 2/5 du tour de piste (donc 4/5 tour depuis l'entrée en piste).

 

Et ainsi de suite...

Ils se rencontrent ensuite au point R3 lorsque le cavalier a parcouru 9/5 de tour depuis l'entrée en piste (l'écuyère 6/5 de tour). Puis au point R4 lorsque le cavalier a parcouru 12/5 de tour (l'écuyère a parcouru 8/5 de tour).

La cinquième rencontre a lieu lorsque le cavalier a parcouru 15/5 de tour, c'est à dire exactement 3 tours (l'écuyère a parcouru 10/5 de tour,c'est à dire exactement 2 tours). Ils se retrouvent donc au point A et peuvent sortir après avoir effectué leur cinquième pas de valse de 12 secondes.

 

La durée totale minimale du numéro est donc 40*3+12*5 =120+60 =180 sec = 3 minutes (ou 60*2 + 12*5 = 180 sec).

                              

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