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JEUX MATHÉMATIQUES ET LOGIQUES
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LES TOURS DE HANOÏ
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LE JEU : RÈGLES
Véritable casse-tête annamite, ce jeu est composé de trois tours et d'anneaux enfilés sur ces tours.
Ces anneaux doivent obligatoirement être posés les uns sur les autres par taille décroissante.
Le jeu consiste donc à déplacer tous les anneaux placés sur une tour A vers une tour C par exemple,en pouvant utiliser une troisième tour B, en un minimum de déplacements.
On ne déplace qu'un anneau à la fois et on ne peut placer un anneau que sur un plus grand que lui.
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CLIQUER CI-DESSOUS SUR " JOUONS" POUR ACCÉDER AU JEU INTERACTIF
CONSEILS:
♣ Limitez vous à 7 anneaux maximum! En effet 5 anneaux nécessitent au minimum 31 déplacements, 6 anneaux nécessitent 63 déplacements, 7anneaux en demandent 127 et 8 anneaux 255 !!...
♣ Procédez par étapes et commencez avec 1 (trivial),2 , 3, 4 puis 5 anneaux, et même 6 ,puis 7 anneaux.
♣ N'hésitez pas à utiliser papier et crayon pour détailler la méthode.
Si vous êtes capable de résoudre le problème jusqu'à 6,ou même 7 anneaux ,alors vous êtes capable de le faire en théorie pour un nombre quelconque d'anneaux...
♣ ET...si vous avez des difficultés, AIDEZ-VOUS DE L'ANALYSE
CI-DESSOUS!
ANALYSE
Le jeu est toujours possible et demande environ deux fois plus de temps chaque fois que l'on ajoute un anneau à la tour initiale. En effet, si l'on sait résoudre le problème pour trois anneaux (en 7 coups), en transportant les anneaux de la tour A vers la tour B , alors on sait résoudre le problème pour quatre annneaux. Ainsi, on transporte les 3 anneaux de la tour A vers la tour B (7 coups) , puis on déplace le quatrième anneau de la tour A vers la tour C (1 coup) et enfin on transporte les trois anneaux de la tour B vers la tour C (7 coups). Le nombre de coups devient le double, plus un ; ici il est devenu : 7+1+7=15 soit 2x7+1.
Le nombre de coups croît exponentiellement, c'est donc extrêmement rapide.
REMARQUE:
Le jeu se complique vite en augmentant le nombre d'anneaux et, pour le résoudre correctement,il faut une méthode.
L'analyse ci-dessus donne l'indication.
POUR LES "MATHEUX"
( connaitre le raisonnement par récurrence)
Il est facile, en utilisant l'analyse ci-dessus, d'établir une formule de récurrence liant le nombre minimum de déplacements H(n) nécessaires pour transférer n anneaux de la tour A à la tour C au nombre H(n+1) nécessaires pour transférer n+1 anneaux de la tour A à la tour C.
Il est également possible de conjecturer puis de démontrer, à partir de la relation précédente une formule qui exprime en fonction de n le nombre de déplacements minimum nécessaires pour transférer n anneaux de la tour A à la tour C.
( formule: H(n) = 2n - 1 )
Certaines sources signalent l'arithméticien Edouard Lucas comme étant à l'origine de ce divertissement. D'autres en donnent une explication plus mythologique:
Dans le grand temple de Bénarès, sous le dôme qui marque le centre du monde, se trouve une plaque de bronze où sont fixées trois aiguilles de diamant, hautes chacune d'une coudée et fines comme la taille d'une guêpe. Sur une de ces aiguilles, lors de la création du monde, Dieu a placé 64 disques d'or pur, le plus large reposant sur la plaque de bronze, et les autres allant en décroissant jusqu'au plus petit. C'est la Tour de Bramah. Jour et nuit, sans arrêt, les prêtres transfèrent les disques d'une aiguille de diamant à une autre, en suivant les lois immuables de Bramah qui veulent que le prêtre de service ne prenne qu'un disque à la fois, et qu'il le place sur une aiguille de telle manière qu'il ne se trouve jamais sous lui de disque plus petit. Lorsque les soixante-quatre disques auront été transférés de l'aiguille sur laquelle Dieu les a mis lors de la création du monde, à une des autres aiguilles, la Tour, le Temple et les Brahmanes s'écrouleront en poussière, et dans un coup de tonnerre, le Monde s'évanouira.
dernière mise à jour:
23/12/2021
Jeux maths page
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